But Egoz is NOT Gematria Chet!

Note: Several edits and updates.
There is a famous statement that one should not eat nuts {egozim} on Rosh haShana because Egoz has the same gematria at Chet. The almost as famous objection is that Egoz does NOT have the gematra of Chet, since אגוז = 17, while חטא = 18. The answer given is that in gematria, you are allowed to be off by 1. That is fine, but I would ask: why not then note that it is also 1 off from חי, that is, life, which is surely a fine sign for Rosh HaShana?

Sperber actually covers this in his series Minhagei Yisrael, and gives a detailed answer. He notes that there is another reason given - these promote coughing phlegm, and that would disturb the davening. He also notes the practice of either looking at or eating various foods whose names are propitious, under the idea that simana milta. His solution: One such food that was eaten (or looked at) by some were these egozim, and since these promoted coughing phlegm, they wished to discourage their consumption. That is the real reason not to eat it. However, it is hard to discourage people from doing these propitious acts, especially once they become minhagic. Thus, he developed a negative connotation to the nuts, and noted that their gematria was the same as Chet. This would discourage people from eating them in the same way they had previously been encouraged to eat them.

What about the one-off problem? Sperber also notes that חטא can also be spelled חט, without the aleph. This is indeed the spelling in the Yerushalmi, at least 8 times:

• דף ח, ב פרק א הלכה ג גמרא: קדושה לידי ענוה ענוה לידי יראת חט
• דף ח, ב פרק א הלכה ג גמרא: יראת חט לידי רוח הקודש
• דף ח, ב פרק א הלכה ג גמרא: יראת חט לידי רוח הקודש

סדר מועד, מסכת יומא

• דף לח, א פרק ז הלכה ג גמרא: כפרה האמורים בפנים בן הבקר מכפר על שופכי דמים אף כפרה אמורה בחוץ בן הבקר מכפר על שופכי דמים כאן בשוגג כאן במזיד שנייא היא עגלה ערופה בין שוגג בין מזיד א"ר יוסה כאן על חט ידוע וכאן על חט שאינו ידוע

סדר מועד, מסכת חגיגה

• דף ח, ב פרק ב הלכה א גמרא: וידע כל ישראל מדן ועד באר שבע וגו' נתיירא מיום הדין אנו על אחת כמה וכמה והדין כי הנה יוצר הרים ובורא רוח וגו' אפי' דברים שאין בהן חט נכתבין לאדם על פינקסו ומי מגיד לאדם הבל היוצא

סדר נשים, מסכת נדרים

• דף ג, א פרק א הלכה א גמרא: מתניתא דר' יודה דתני בשם רבי יודה חסידים הראשונים מתאוין להביא קרבן חטאת לא היה המקום מספיק בידם חט והיו
• דף ג, א פרק א הלכה א גמרא: חט זה על נפשו שמנע עצמו מן היין

סדר נשים, מסכת סוטה

• דף טז, א פרק ג הלכה ד גמרא: מטרונה שאלה את רבי לעזר מפני מה חט אחת במעשה העגל והן מתים בה שלש מיתות

If I recall correctly, Sperber showed that, influenced by the Yerushalmi usage, this was indeed the spelling in the time and location of the origin of this gematria. {Update: Indeed, Rema in Orach Chaim 583:2, citing Maharil, spells חט this way.}

Also, I do not recall if Sperber suggested it - I don't think so - but there is another reason people would eat egozim on Rosh HaShana. It is a kiyum of simchat Yom Tov. We see in Yerushalmi how one fulfills simchat Yom Tov. For men, this is meat and wine. What about women and children?
דף סח, ב פרק י הלכה א גמרא: רבי יודה אומר נשים בראוי להן וקטנים בראוי להם נשים בראוי להן כגון מסנים וצוצלין וקטנים בראוי להן כגון אגוזין ולוזין

And indeed, if one looks through the girsaot in the parallel Bavli, it may well be part of the reason Rabbi Akiva/Rabbi Tarfon distributed egozim and kelayot on erev Pesach. If this is an element of Simchat Yom Tov, they might have been distributing them on Rosh Hashana as well, in which case people would be coughing up phlegm or clearing their throats during prayer and during tekiat shofar. Then, insert the matter of attempting to discourage the practice. It does work out better, though, if they were eating it for the purpose of simanim.